Enunciado

h x = sgn ⁡ x - U x

Lembrando que sgn ⁡ x é definido como

sgn ⁡ x = - 1 s e x < 0 0 s e x = 0 1 s e x > 0

E U x   é a função escada definida por

U x = 0 s e x < 0 1 s e x ≥ 0

Ache, se existirem:

a ) lim x → 0 + ⁡ h x

b ) lim x → 0 - ⁡ h x

c ) lim x → 0 ⁡ h x

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de h x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa h x

O enunciado disse que

h x = sgn ⁡ x - U x

Pegando a definição dessa função sgn ⁡ x e a de U x conseguimos achar o h x

Para isso, vamos pegar a sgn ⁡ x e ir subtraindo o valor de U x

sgn ⁡ x = - 1 s e x < 0 0 s e x = 0 1 s e x > 0

Vamos olhar com calma cada intervalo da função U x .

Primeiro em x < 0 : O valor de U x vai ser 0

Agora em x = 0 : O valor de U x vai ser 1

Agora em x > 0 : O valor de U x vai ser 1

Então, h x vai ser

h x = - 1 - 0 s e x < 0 0 - 1 s e x = 0 1 - 1 s e x > 0

h x = - 1 s e x < 0 - 1 s e x = 0 0 s e x > 0

Arrumando isso, vamos ter

h x = - 1 s e x ≤ 0 0 s e x > 0

Então ela vai ser - 1 até o x = 0 , incluindo o x = 0 . Isso faz com que se tenha que colocar uma bolinha fechada em x = 0 e y = - 1 .

Depois ela vai ser 0 para valores maiores que 0 . Lembrando de colocar a bolinha aberta em 0,0

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 0 + ⁡ h x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela direita. Que é se aproximar de 0 por valores maiores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela direita, a nossa função se aproxima de 0 .

Mesmo que ela de fato seja - 1 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de 0 na verdade.

lim x → 0 + ⁡ h x = 0

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → 0 - ⁡ h x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Que é se aproximar de 0 por valores menores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela esquerda, a nossa função se aproxima de - 1 .

Mesmo que ela de fato seja - 1 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de - 1 na verdade.

lim x → 0 - ⁡ h x = - 1

Passo 4

Letra c )

lim x → 0 ⁡ h x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 0 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 0 e - 1 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Resposta

a )

lim x → 0 + ⁡ h x = 0

b )

lim x → 0 - ⁡ h x = - 1

c )

Não existe o limite

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Suponhamos que a função f ( x ) seja definida para todo x em [ - 1,1 ] . O que pode ser dito sobre a existência de lim x → 0 ⁡ f ( x ) ? Justifique sua resposta.
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