Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

g x = sec ⁡ 3 x ;                 - π 6 , π 6

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado.

Sabemos que sec ⁡ 3 x = 1 / cos ⁡ 3 x e que

g ' x = sec ⁡ 3 x ⋅ tan ⁡ 3 x ⋅ 3 x ' = 3 sec ⁡ 3 x tan ⁡ 3 x

No intervalo dado, - π 2 ≤ 3 x ≤ π 2 , de modo que sec ⁡ 3 x > 0 . Já a tangente muda de sinal: para - π 2 < 3 x < 0 ela é negativa e para 0 < 3 x < π 2 ela é positiva, de modo que ela controla o sinal de g ' . Assim, para x < 0 no intervalo, g ' x < 0 e a função é decrescente, enquanto para x > 0 a função é crescente no intervalo. Além disso, para x = 0 , g ' 0 = 0 , de modo que esse é um ponto crítico.

Passo 2

A seguir damos um esboço do gráfico de g nesse intervalo:

Do gráfico é fácil de ver que o mínimo ocorre em x = 0 com g 0 = 1 . Por outro lado, temos que

lim x → - π 6 ⁡ g ( x ) = lim x → π 6 ⁡ g ( x ) = + ∞

Assim, g não tem máximo absoluto no intervalo.

Resposta

Máximo absoluto: não tem.

Mínimo absoluto: g 0 = 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. F
Ache os números críticos da função dada. F x = 5 + x 32 - x 2
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f