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Ache o limite, se existir.

lim y → 5 - ⁡ 25 - y 2 y - 5

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Para isso vamos fatorar 25 - y 2 em polinômios de grau menores e substituir na equação. Sabendo do produto notável a 2 - b 2 =   a - b a + b vamos aplica-lo em 25 - y 2 .

lim y → 5 - ⁡ 25 - y 2 y - 5 =   lim y → 5 - ⁡ 5 - y 5 + y y - 5

Passo 2

Agora vamos por - 1   em evidência de y - 5 e após vamos elevar ao quadrado e tirar a raiz quadrada dessa expressão, e como y → 5 - então y < 5 e y - 5 < 0 para que nesse processo não tenha alteração do valor é necessário que a raiz seja multiplicada por - 1 .

lim y → 5 - ⁡ 5 - y 5 + y - 5 - y

lim y → 5 - ⁡ 5 - y 5 + y - - 5 - y 2 =   lim y → 5 - ⁡ 5 - y 5 + y - 5 - y 2 =   lim y → 5 - ⁡ - 5 - y 5 + y 5 - y 5 - y

Passo 3

Como   5 - y   é um termo em comum dessa divisão seu valor se torna 1.

lim y → 5 - ⁡ - 5 - y 5 + y 5 - y 5 - y = lim y → 5 - ⁡ - 5 + y 5 - y

Passo 4

Por fim temos:

lim y → 5 - ⁡ - 5 + y 5 - y

- 10 0 -

- ∞

Resposta

lim y → 5 - ⁡ 25 - y 2 y - 5 = - ∞

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