Enunciado

Ache o limite, se existir.

underset(y -> 5^-)(lim) (sqrt(25 - y^2))/(y - 5)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Para isso vamos fatorar 25 - y^2 em polinômios de grau menores e substituir na equação. Sabendo do produto notável (a^2 - b^2) = (a - b) (a + b) vamos aplica-lo em 25 - y^2 .

underset(y -> 5^-)(lim) (sqrt(25 - y^2))/(y - 5) = underset(y -> 5^-)(lim) (sqrt((5 - y) (5 + y)))/((y - 5))

Passo 2

Agora vamos por - 1 em evidência de (y - 5) e após vamos elevar ao quadrado e tirar a raiz quadrada dessa expressão, e como y -> 5^- então y < 5 e y - 5 < 0 para que nesse processo não tenha alteração do valor é necessário que a raiz seja multiplicada por - 1 .

underset(y -> 5^-)(lim) (sqrt((5 - y) (5 + y)))/(- (5 - y))

underset(y -> 5^-)(lim) (sqrt((5 - y) (5 + y)))/(- sqrt((- (5 - y))^2)) = underset(y -> 5^-)(lim) (sqrt((5 - y) (5 + y)))/(- sqrt((5 - y)^2)) = underset(y -> 5^-)(lim) - sqrt(((5 - y) (5 + y))/((5 - y) (5 - y)))

Passo 3

Como (5 - y) é um termo em comum dessa divisão seu valor se torna 1.

underset(y -> 5^-)(lim) - sqrt(((5 - y) (5 + y))/((5 - y) (5 - y))) = underset(y -> 5^-)(lim) - sqrt(((5 + y))/((5 - y)))

Passo 4

Por fim temos:

underset(y -> 5^-)(lim) - sqrt(((5 + y))/((5 - y)))

- sqrt((10)/(0^-))

- oo

Resposta

underset(y -> 5^-)(lim) (sqrt(25 - y^2))/(y - 5) = - oo

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