Ache o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de 1 -   cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x ∙ 1 +   cos ⁡ x 1 +   cos ⁡ x

lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 +   cos ⁡ x ) 1 2 -   cos 2 ⁡ x

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 +   cos ⁡ x ) sin 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites e propriedade da potenciação de limites.

lim x → 0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ ( 1 +   cos ⁡ x )

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ ( 1 +   cos ⁡ x )

Passo 4

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 x e aplicar a propriedade da divisão de limites.

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x ∙ 1 x 1 x 2 ∙   lim x → 0 ⁡ ( 1 +   cos ⁡ x )

lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 ∙   lim x → 0 ⁡ ( 1 +   cos ⁡ x )

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1 .

1 1 2 ∙   ( 1 +   cos ⁡ ( 0 ) )

1 ∙   1 +   1

2

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡ x = 2

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