Enunciado

Ache o limite

underset(x -> 3^-)(lim) (x^3 + 9 x^2 + 20 x)/(x^2 + x - 12)

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

underset(x -> 3^-)(lim) (x^3 + 9 x^2 + 20 x)/(x^2 + x - 12) = (3^3 + 9 (3^2) + 20 (3))/(3^2 + 3 - 12) = (27 + 81 + 60)/(9 + 3 - 12) = (168)/(0)

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + oo ou - oo

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 2

Vamos olhar a fração que temos no limite

(x^3 + 9 x^2 + 20 x)/(x^2 + x - 12)

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que 3 .

Primeiro, vamos colocar o x em evidência no numerador, para facilitar as nossas contas.

(x (x^2 + 9 x + 20))/(x^2 + x - 12)

Agora, vamos fatorar as duas expressões de 2 º grau que apareceram ali. Para isso, temos que achar suas raízes

Passo 3

x^2 + 9 x + 20 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 4

x = - 5

E teremos

x^2 + 9 x + 20 = (x - (- 4)) (x - (- 5)) = (x + 4) (x + 5)

A outra expressão de segundo grau vai ficar

x^2 + x - 12 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 4

x = 3

E teremos

x^2 + x - 12 = (x - (- 4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)

Passo 4

Voltando para a nossa fração, vamos ter

(x (x^2 + 9 x + 20))/(x^2 + x - 12)

(x (x + 4) (x + 5))/((x + 4) (x - 3))

Simplificando o x + 4

(x (x + 5))/(x - 3)

Repare que ele que o limite para valores menores que 3 , mas próximos a ele. Então tanto x quando x + 5 serão números positivos. Fazendo o numerador ser positivo.

O denominador vai ser x - 3 , como estamos com valores de x menores que 3 , ele vai ser negativo.

Uma fração com numerador positivo e denominador negativo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores menores que 3 é negativa. O que vai fazer com que aquele oo que vimos seja - oo

underset(x -> 3^-)(lim) (x^3 + 9 x^2 + 20 x)/(x^2 + x - 12) = - oo

Resposta

- oo

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