Dada

f x = x 2 s e x ≤ - 2 a x + b s e - 2 < x < 2 2 x - 6 s e 2 ≤ x

Ache os valores de a e b , tais que lim x → - 2 ⁡ f x e lim x → 2 ⁡ f x existam.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza?

Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de - 2 . E também de 2 .

Que se resume a:

lim x → - 2 + ⁡ f x

lim x → - 2 - ⁡ f x

E

lim x → 2 + ⁡ f x

lim x → 2 - ⁡ f x

Como ele quer que o limite exista, vamos achar os dois limites laterais e depois igualá-los.

Passo 2

Vamos começar com o - 2 .

Primeiro o limite pela direita:

lim x → - 2 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de - 2 . Mas cuidado, tem duas expressões maiores que - 2 . A que vamos escolher é aquela logo depois do - 2 .

Aqui vai ser a x + b .

Logo, vamos ter

lim x → - 2 + ⁡ a x + b = a - 2 + b = - 2 a + b

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → - 2 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de - 2 .

Aqui vai ser x 2 .

Logo, vamos ter

lim x → - 2 - ⁡ x 2 = - 2 2 = 4

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

- 2 a + b ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = 4 ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

- 2 a + b = 4

Opa, lascou. Isso não é o suficiente, temos duas letras ali.

Calma, isso aconteceu porque precisamos olhar o outro limite que ele pediu, o em 2

Passo 5

Agora o limite em 2

Primeiro o limite pela direita:

lim x → 2 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 2 .

Aqui vai ser 2 x - 6 .

Logo, vamos ter

lim x → 2 + ⁡ 2 x - 6 = 2 2 - 6 = 4 - 6 = - 2

Passo 6

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 2 . Mas cuidado, tem duas expressões menores que 2 . A que vamos escolher é aquela logo antes do 2 .

Aqui vai ser a x + b .

Logo, vamos ter

lim x → 2 - ⁡ a x + b = 2 a + b

Passo 7

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

2 a + b ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = - 2 ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

2 a + b = - 2

Repare que no fundo achamos duas equações, que é um sistema de equação

Passo 8

Vamso resolver o sistema

- 2 a + b = 4 2 a + b = - 2  

Para resolver esse sistema, vamos somar as equações:

- 2 a + b + 2 a + b = 4 + - 2

- 2 a + b + 2 a + b = 4 - 2

2 b = 2

b = 1

Agora que achamos o b , precisamos substituir em qualquer uma das equações para achar o a . Vamos substituir na segunda

2 a + 1 = - 2

2 a + 1 = - 2

2 a = - 2 - 1

2 a = - 3

a = - 3 2

Então devemos ter

a = - 3 2

b = 1

Resposta

a = - 3 2

b = 1

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