Enunciado

Ache o limite

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x^2)

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x^2) = (sqrt(3 + 0^2))/(0) = (sqrt(3))/(0)

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + oo ou - oo

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite.

Só que um detalhe deve ser dito.

Aqui temos o limite com t -> 0 . Então na verdade temos que olhar os limites laterais primeiro e depois olhar em t -> 0

underset(t -> 0^-)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x^2)

e

underset(t -> 0^+)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x^2)

Passo 2

Começaremos pelo limite pela esquerda.

underset(t -> 0^-)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x^2)

Vamso olhar a expressão que ele deu

(sqrt(3 + x^2))/(x^2)

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que 0 .

Repara que o nosso denominador vai ser sempre positivo, porque x^2 é sempre positivo.

O nosso numerador é uma raiz quadrada, e a raiz é SEMPRE positiva.

A divisão de um número positivo por um número positivo vai dar positivo

Então vamos ter que essa expressão por valores menores que 0 é positiva. O que vai fazer com que aquele oo que vimos no primeiro passo seja + oo

underset(t -> 0^-)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x) = + oo

Passo 3

Agora o limite pela direita.

underset(t -> 0^+)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x^2)

Vamso olhar a expressão que ele deu

(sqrt(3 + x^2))/(x^2)

A questão pediu o limite lateral pela direita. Que é o limite por valores menores que 0 .

Repara que o nosso denominador vai ser sempre positivo, porque x^2 é sempre positivo.

O nosso numerador é uma raiz quadrada, e a raiz é SEMPRE positiva.

A divisão de um número positivo por um número positivo vai dar positivo

Então vamos ter que essa expressão por valores maiores que 0 é positiva. O que vai fazer com que aquele oo que vimos no primeiro passo seja + oo

underset(t -> 0^+)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x) = + oo

Passo 4

Agora que temos os limites laterais, podemos olhar o limite quando t -> 0

underset(t -> 0^-)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x) = + oo

e

underset(t -> 0^+)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x) = + oo

Como os dois limites laterais vão para infinito e para o mesmo sinal, podemos escrever

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x) = + oo

Só cuidado com uma coisa, se os limites tivem sinais diferentes, basta deixar na resposta os limites laterais mesmo. Aquela parada de limite não existir não entra aqui porque para existir deve ser um número e não infinito. Então só de ir para infinito ele já não existe.

Resposta

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(3 + x^2))/(x) = + oo

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Determine o limite a seguirunderset(x - 1^+)(lim) (sqrt(2 x) (x - 1))/(| x - 1 |)
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Determine o limite a seguir lim h → 0 - ⁡ 6 - 5 h 2 + 11 h + 6h
Determine o limite a seguir lim x → - 2 - ⁡ x + 3 x + 2 x + 2
Se você sabe que lim x → c ⁡ f ( x ) existe, você pode determinar seu valor pelo cálculo de lim x → c + ⁡ f ( x ) ? Justifique sua resposta.