Enunciado

Ache o limite

underset(x -> - 2^+)(lim) (6 x^2 + x - 2)/(2 x^2 + 3 x - 2)

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

underset(x -> - 2^+)(lim) (6 x^2 + x - 2)/(2 x^2 + 3 x - 2) = (6 (- 2)^2 + (- 2) - 2)/(2 (- 2)^2 + 3 (- 2) - 2) = (6.4 - 2 - 2)/(2.4 - 6 - 2) = (24 - 4)/(8 - 6 - 2) = (20)/(0)

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + oo ou - oo

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 2

Vamos olhar a fração que temos no limite

(6 x^2 + x - 2)/(2 x^2 + 3 x - 2)

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que - 2 .

Primeiro, vamos colocar o 6 em evidência no denominador e o 2 em evidência no numerador. Para que tenhamos só 1 multiplicando x^2 , que vai facilitar a fatoração.

(6 (x^2 + (1)/(6) x - (1)/(3)))/(2 (x^2 + (3)/(2) x - 1))

3 ((x^2 + (1)/(6) x - (1)/(3)))/((x^2 + (3)/(2) x - 1))

Vamos fatorar as duas expressões de 2 º grau que apareceram ali. Para isso, temos que achar suas raízes

x^2 + (1)/(6) x - (1)/(3) = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = (1)/(2)

x = - (2)/(3)

E teremos

x^2 + (1)/(6) x - (1)/(3) = (x - (1)/(2)) (x - (- (2)/(3))) = (x - (1)/(2)) (x + (2)/(3))

A outra expressão de segundo grau vai ficar

x^2 + (3)/(2) x - 1 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 2

x = (1)/(2)

E teremos

x^2 + (3)/(2) x - 1 = (x - (- 2)) (x - (1)/(2)) = (x + 2) (x - (1)/(2))

Passo 3

Voltando para a nossa fração, vamos ter

3 ((x^2 + (1)/(6) x - (1)/(3)))/((x^2 + (3)/(2) x - 1))

3 ((x - (1)/(2)) (x + (2)/(3)))/((x + 2) (x - (1)/(2)))

Simplificando o x - (1)/(2)

3 (x + (2)/(3))/(x + 2)

Repare que ele que o limite para valores maiores que - 2 , mas próximos a ele. Então x + (2)/(3) vai ser negativo. Fazendo o numerador ser negativo.

O denominador vai ser x + 2 , como estamos com valores de x maiores que - 2 , ele vai ser positivo.

Uma fração com numerador negativo e denominador positivo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores maiores que - 2 é negativa. O que vai fazer com que aquele oo que vimos seja - oo

underset(x -> - 2^+)(lim) (6 x^2 + x - 2)/(2 x^2 + 3 x - 2) = - oo

Resposta

- oo

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Determine o limite de cada função a) l i m ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x quando x →1 +
⁡ l i m x → 2 - x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2
Determine o limite de cada função a) l i m ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x quando x →0 -
Determine o limite de cada função a) l i m ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2 quando x →0
⁡ l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2