Enunciado

Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele:

f x = 4 x - 5 2

Passo 1

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x - 5 2 = 0

Passando a raiz quadrada

x - 5 = 0

x = 5

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → 5 + ⁡ f x

E

lim x → 5 - ⁡ f x

Passo 2

Começando com

lim x → 5 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 5 + ⁡ 4 x - 5 2 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 5 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que 5 , logo o nosso denominador, que é x - 5 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Ao elevar ao quadrado continua positivo.

E isso nos diz que

lim x → 5 + ⁡ 4 x - 5 2 = + ∞

Passo 3

Começando com

lim x → 5 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 5 - ⁡ 4 x - 5 2 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 5 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que 5 , logo o nosso denominador, que é x - 5 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Ao elevar ao quadrado, vamos ter por fim o denominador positivo.

E isso nos diz que

lim x → 5 - ⁡ 4 x - 5 2 = + ∞

Passo 4

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 5

É assíntota vertical.

Separamos os limites laterais para conseguirmos esboçar o gráfico corretamente.

Porque quando x chegar próximo de 5 por valores ele cresce indefinidamente, e quando ele estiver um pouco depois, ou seja, por valores maiores ele vai crescer indefinidamente.

O esboço vai ficar

Repara que antes do 5 a função sobe loucamente.

E depois do 5 ela vem lááááá do + ∞

Resposta

Assíntota vertical:

x = 5

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Determine o limite lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3
Determine o limite lim x → 0 + ⁡ 2 3 x 1 3
Determine o limite lim x → 0 ⁡ 4 x 2 5
Determine o limite lim x → 0 - ⁡ 2 x 1 5
Determine o limite lim x → 0 + ⁡ 1 3 x