Enunciado

Ache o limite

underset(w -> - oo)(lim) (sqrt(w^2 - 2 w + 3))/(w + 5)

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com w indo para oo .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(sqrt(w^2 - 2 w + 3))/(w + 5)

Passo 2

O nosso numerador é

sqrt(w^2 - 2 w + 3)

Colocando w^2 em evidência dentro da raiz, vamos ter

sqrt(w^2 (1 - (2)/(w) + (3)/(w^2)))

Podemos tirar aquele w^2 da raiz. Mas precisamos lembrar de uma coisa muuuuito importante.

Cuidado para não fazer sqrt(w^2) = w . Na verdade a raiz de w^2 vai ser |w| . Isso porque raiz quadrada deve ser sempre positiva.

sqrt(w^2) = |w|

Nosso numerador vai ficar

|w| sqrt((1 - (2)/(w) + (3)/(w^2)))

Passo 3

O nosso denominador vai ser

w + 5

Colocando w em evidência

w (1 + (5)/(w))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(sqrt(w^2 - 2 w + 3))/(w + 5) = (|w| sqrt((1 - (2)/(w) + (3)/(w^2))))/(w (1 + (5)/(w)))

A parada agora é como tirar aquele módulo. Vamos olhar qual limite que ele pede. É para w -> - oo certo? Então ele quer valores negativos de w . Então temos que fazer

|w| = - w

Se fosse w -> oo deveríamos tomar

|w| = w

Beleza?

(|w| sqrt((1 - (2)/(w) + (3)/(w^2))))/(w (1 + (5)/(w))) = (- w sqrt((1 - (2)/(w) + (3)/(w^2))))/(w (1 + (5)/(w))) = - (sqrt((1 - (2)/(w) + (3)/(w^2))))/((1 + (5)/(w)))

Agora, vamos tomar o limite

underset(w -> - oo)(lim) (sqrt(w^2 - 2 w + 3))/(w + 5) = underset(w -> - oo)(lim) - (sqrt((1 - (2)/(w) + (3)/(w^2))))/((1 + (5)/(w)))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(w -> - oo)(lim) - (sqrt((1 - (2)/(w) + (3)/(w^2))))/((1 + (5)/(w))) = - (sqrt((1 - 0 + 0)))/((1 + 0)) = - (sqrt(1))/(1) = - 1

Resposta

- 1

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