∫ x 4 + 3 x 3 - 5 x 2 - 4 x + 17 x 3 + x 2 - 5 x + 3 d x

Passo 1

Primeiro vamos dividir o numerador pelo denominador para achar uma função com o denominador com o grau maior que o do numerador.

x 4 + 3 x 3 - 5 x 2 - 4 x + 17 x 3 + x 2 - 5 x + 3

A nossa divisão fica assim

Assim podemos rescrever

x 4 + 3 x 3 - 5 x 2 - 4 x + 17 x 3 + x 2 - 5 x + 3 = x + 2 + - 2 x 2 + 3 x + 11 x 3 + x 2 - 5 x + 3

Então a nossa integral fica

∫ ( x + 2 ) + ( - 2 x 2 + 3 x + 11 ) ( x 3 + x 2 - 5 x + 3 ) d x

Logo

∫ ( x + 2 ) d x + ∫ ( - 2 x 2 + 3 x + 11 ) ( x 3 + x 2 - 5 x + 3 ) d x

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ ( - 2 x 2 + 3 x + 11 ) x - 1 2 ( x + 3 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

( - 2 x 2 + 3 x + 11 ) x - 1 2 ( x + 3 ) = A x - 1 2 + B x - 1 + C ( x + 3 )

Isolando - 2 x 2 + 3 x + 11 , vamos achar

- 2 x 2 + 3 x + 11 = A x + 3 + B x - 1 x + 3 + C x - 1 2

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 3 ;                     B = - 1 ;                       C = - 1

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

( - 2 x 2 + 3 x + 11 ) x - 1 2 ( x + 3 ) = 3 x - 1 2 + - 1 x - 1 + - 1 ( x + 3 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ ( - 2 x 2 + 3 x + 11 ) ( x 3 + x 2 - 5 x + 3 ) d x = ∫ 3 x - 1 2 d x + ∫ - 1 x - 1 d x + ∫ - 1 ( x + 3 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ ( - 2 x 2 + 3 x + 11 ) ( x 3 + x 2 - 5 x + 3 ) d x = - 3 / ( - 1   +   x )   -   l n | 1   -   x |   -   l n ⁡ | 3   +   x |

Resposta

                                                                                                            ∫ x + 2 d x + ∫ - 2 x 2 + 3 x + 11 ( x 3 + x 2 - 5 x + 3 ) d x = - 3 - 1   +   x -   x   + 1 2 3   +   x 2 - ln ⁡ 1   -   x - ln ⁡ 3   +   x + c

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