Enunciado

Ache a massa total e o centro de massa.

20. Uma barra tem 10 cm e medida da densidade linear em um ponto é uma função linear da medida da distancia ao centro da barra. A densidade linear em cada extremo da barra é 5 g/cm e no centro da barra ela é 3 1 2 kg/m.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade é uma função linear, ou seja, ela pode ser esxrita da seguinte forma:

ρ x = a x + b

onde x é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

O exercico ainda fornce duas outras informações.

1-a densidade no centro é 3 1 2 g/cm ( 7 2 g/cm). Consideraremos o centro da barra como a posição zero, podemos escrever da seguinte forma: ρ 0 = 7 2 .

2-a densidade no extremo direito é 5 g/cm. Como consideraremos a origem no centro da barra a distanância entre então a posição será metade do comprimento da barra. Podemos escrever então: ρ 5 = 5 .

Agora que sabemos essas informações podemos usar um sistems para achar a densidade da barra.

7 2 = a 0 + b 5 = a 5 + b

b = 7 2 , logo substituindo na segunda equação:

3 = 10 a + 7 2

a = 3 10

Com isso temos que a densidade dessa barra é escrita da seguinte forma:

ρ x = 3 10 x + 7 2

Passo 3

Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l , nesse caso é metade do comprimento da barra já que adotamos o centro da barra como posição zero. Porem como queremos saber a massa da barra inteira multiplicamos a integral por 2

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = 2 ∫ 0 5 ( 3 10 x + 7 2 ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = [ 6 20 x 2 + 7 x ] | 5 0  

M t = ( 6 20 ( 5 ) 2 + 7 ( 5 ) ) - ( 0 2 + 0 )

M t = 85 2 g

Achamos então a massa total da barra.

Resposta

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é metade do comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = 2 ∫ 0 10 x 3 10 x + 7 2 d x 85 2

x - = 2 85 2   [ ∫ 0 l 3 10 x 2 + 7 2 x ]  

x = 4 85 [ 3 30 x 3 + 7 4 x 2 ] 5 0

x - =   4 85 [ 3 30 5 3 + 7 2 5 2  

x - =   45 17   c m

Resposta

Massa total: 85 2 g

Centro de massa: 45 17 c m

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