Enunciado

Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta de y = 5 x entre 0,0   e   ( 1,5 ) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado usando:

  1. Fórmula (4)
  2. Fórmula (5)

Passo 1

Opaa! Tudo joia?

Olha só, pra começar a gente tem que calcular o comprimento utilizando o Teorema de Pitágoras?

Mas pera...

Teorema de Pitágoras? Cateto? Hipotenusa? Triângulo? What?

Vamos entender isso melhor fazendo o desenho dessa reta y = 5 x no intervalo dados pelos pontos 0,0     e     ( 1,5 ) :

Aaahh agora faz mais sentido! Em vermelho ali é a nossa reta y = 5 x sendo marcada pelos nossos pontos A 0,0   e     B ( 1,5 ) , aí formamos um triângulo e vamos poder aplicar o Teorema de Pitágoras!

Passo 2

Bom, a nossa reta ali ( A B ) representa a hipotenusa, certo?

Então fica assim:

A B 2 = A C 2 + B C 2

Pela própria figura dá pra a gente ver o tamanho de A C   e   B C :

A B 2 = 1 2 + 5 2

A B 2 = 1 + 25

A B 2 = 26

A B = 26

Opaa! Então achamos o comprimento da nossa reta no intervalo ali. O comprimento é 26 !

Passo 3

  1. Beleza, agora a gente vai calcular esse comprimento pela fórmula 4 , que é essa aqui:
  2. L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

    Bom, nossa f x = 5 x , então:

    f ' x = 5

    E o intervalo é em x , que vai de 0   a   1 .

    Nossa integral então é:

    = ∫ 0 1 1 + 5 2   d x

    = ∫ 0 1 26   d x

    = 26 x 0 1 = 26

    Olha só! Achamos o mesmo resultado de cima, então tá certinho!

    Passo 4

  3. Agora a gente vai usar a fórmula 5 , que é:

L = ∫ c d 1 + g ' y 2   d y

Então aqui a gente vai ter que jogar nossa função pra y .

Olha só, f x = 5 x é o mesmo que y = 5 x , certo?

Então podemos escrever:

x = y 5

E aí colocamos nossa função como:

g y = y 5

Derivando...

g ' y = 1 5

E aqui o intervalo vai ser em y , ou seja, de 0   a   5 .

Aplicando na fórmula:

= ∫ 0 5 1 + 1 5 2   d y

= ∫ 0 5 1 + 1 25   d y

= ∫ 0 5 26 25   d y

= 26 5 y 0 5

= 26 5 5 - 26 5 ( 0 )

L = 26

E conferiu também! Então nosso comprimento tá certinho, e é 26 mesmo😉

Resposta

L = 26

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

32- Determine a função comprimento de arco para a curva do Exercício 8, usando ( 0 ,1 / 4 ) como ponto inicial. Qual é o comprimento da curva de ( 0 ,1 / 4 ) até ( 1 ,59 / 24 ) ?
Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a: ( x 2 + y 2 ) 3 2 = y ² ²
Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ = c o s ² ( θ ) ²
Passe a curva para coordenadas polares e desenhe-a:(x²+y²)² = x² - y²
Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ ² = tg( θ ) , 0≤ θ π 2 ( ρ ≥ 0 )