Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 11
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
Passo 1
Galera, precisamos transformar a cara dessa função pra uma série de potências, mas primeiro, temos que dar uma ajeitada nela, usando frações parciais. A gente pode começar fatorando o denominador:
Como os fatores são todos de primeiro grau, nossa decomposição em frações parciais ficará mais ou menos assim:
sendo e constantes.
Passo 2
Agora, vamos desenvolver o lado direito, pra achar uma equação mais explícita com e :
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Fazendo igualdade de polinômios termo a termo, chegamos a duas equações:
Resolvendo esse sisteminha, chegamos a e , o que nos dá:
Passo 3
Show! Agora que tal a gente reescrever a função assim:
Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de duas séries geométricas: uma com primeiro termo e razão , e a outra com primeiro termo e razão , ou seja:
E isso nos dá exatamente as séries de potências:
Passo 4
Beleza! Pra descobrir qual é o intervalo de convergência, pegamos a interseção entre os intervalos de convergência de cada série geométrica. Como a razão da primeira era e a razão da outra era , calculamos os intervalos assim:
Então, a interseção entre os intervalos é .
Resposta
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