Enunciado

Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.

f x = 3 x 2 - x - 2

Passo 1

Galera, precisamos transformar a cara dessa função pra uma série de potências, mas primeiro, temos que dar uma ajeitada nela, usando frações parciais. A gente pode começar fatorando o denominador:

f x = 3 x + 1 x - 2

Como os fatores são todos de primeiro grau, nossa decomposição em frações parciais ficará mais ou menos assim:

3 x + 1 x - 2 = A x + 1 + B x - 2

sendo A e B constantes.

Passo 2

Agora, vamos desenvolver o lado direito, pra achar uma equação mais explícita com A e B :

3 x + 1 x - 2 = A x + 1 + B x - 2

3 x + 1 x - 2 = A x - 2 + B ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:

3 =   A x - 2 A + B x + B

0 x + 3 = A + B x + ( B - 2 A )

Fazendo igualdade de polinômios termo a termo, chegamos a duas equações:

A + B = 0                     e                     B - 2 A = 3

Resolvendo esse sisteminha, chegamos a A = - 1 e B = 1 , o que nos dá:

f x = ( - 1 ) x + 1 + 1 x - 2

Passo 3

Show! Agora que tal a gente reescrever a função assim:

f x = - 1 1 + x + - 1 2 - x

f x = ( - 1 ) 1 - ( - x ) + ( - 1 2 ) 1 - x 2

Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de duas séries geométricas: uma com primeiro termo - 1 e razão - x , e a outra com primeiro termo - 1 2 e razão x 2 , ou seja:

f x = - 1 + x - x 2 + … + - 1 2 - x 4 - x 2 8 - …

E isso nos dá exatamente as séries de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 - x n + ∑ n = 0 ∞ - 1 2 x 2 n

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n + 1 x n

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 - 1 2 n + 1 x n

Passo 4

Beleza! Pra descobrir qual é o intervalo de convergência, pegamos a interseção entre os intervalos de convergência de cada série geométrica. Como a razão da primeira era - x e a razão da outra era x 2 , calculamos os intervalos assim:

- x < 1                                         x 2 < 1

x < 1                                         x < 2

- 1 < x < 1                                       - 2 < x < 2

Então, a interseção entre os intervalos é - 1 ,   1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 - 1 2 n + 1 x n

( - 1 ,   1 )

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