Enunciado

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com a precisão de seis casas decimais

∫ 0 0,2 d x 1 + x 6

Passo 1

Sabemos que a função f x = 1 1 - x com x < 1 , pode ser representada como uma série de potências de forma que

f x = 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Nos valendo dessa informação vamos manipular o integrando do exercício para que ele fique análogo à função f(x) e possa ser igualado à uma série, conforme o modelo acima:

1 1 + x 6 = 1 1 - - x 6 = ∑ n = 0 ∞ ( - x 6 ) n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n

Passo 2

Substituindo a série obtida acima dentro da integral, teremos

∫ 0 0,2 d x 1 + x 6 = ∫ 0 0,2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n d x

Se integrarmos a série termo a termo obtemos

∫ 0 0,2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n d x = C + x - x 7 7 + x 13 13 - … + - 1 n x n + 1 6 n + 1 + … 0 0,2

Tomando C = 0 e substituindo os limites de integração chegamos à seguinte soma infinita:

0,2 - 0,2 7 7 + 0,2 13 13 - … + - 1 n 0,2 n + 1 6 n + 1 + …

Passo 3

De forma semelhante ao exercício 29, a série alternada acima pode ser aproximada de uma soma finita. Se aproximarmos o valor da série pela soma dos dois primeiros termos, o erro de aproximação será, no máximo, igual ao valor absoluto do terceiro termo:

0,2 13 13 ≈ 6,3 × 10 - 11

Dessa forma, temos como resultado:

∫ 0 0,2 d x 1 + x 6 ≈ 0,2 - 0,2 7 7 ≈ 0,199998

Resposta

∫ 0 0,2 d x 1 + x 6 ≈ 0,199998

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