Ache (f^(-1))'(d) .

f(x) = sec(x / 2), 0 <= x < pi; d = 2

Passo 1

A questão fornece uma função f invertível e pede para acharmos a derivada da inversa em x = d . Por mais estranho que possa parecer, não precisamos achar uma expressão para f - 1 para achar sua derivada em um determinado ponto, podemos recorrer ao teorema 7.2.4 apresentado nessa seção do livro.

O teorema basicamente diz que se f c = d e f ' c ≠ 0 , então

f - 1 ' d = 1 f ' ( c )

Desta forma, basta conhecermos a derivada de f em x = c que saberemos a derivada de f - 1 em x = d .

Neste caso, temos que f x = sec ⁡ x 2 e d = 2 . O primeiro passo é descobrir c tal que f c = d . Assim, temos que

sec ⁡ c 2 = d = 2 ⇒ cos ⁡ c 2 = 1 2 ⇒ c 2 = π 3 ⇒ c = 2 π 3

Passo 2

Agora precisamos achar f ' ( c ) . Derivando f :

f ' x = 1 2 sec ⁡ x 2 tan ⁡ x 2

Assim,

f ' c = f ' 2 π 3 = 1 2 sec ⁡ π 3 tan ⁡ π 3 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3

Portanto,

f - 1 ' d = f - 1 ' 2 = 1 f ' ( c ) = 1 3

Resposta

1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados