Enunciado

Seja f uma função cujo domínio e imagem são intervalos. Prove que se f for estritamente crescente (ou estritamente decrescente), então f será contínua.

Passo 1

Vamos dizer que I e J são, respectivamente, o domínio e a imagem de f , sendo I e J intervalos, conforme nossa hipótese.

Seja p um ponto de I , que não seja extremidade de I . Como f é estritamente crescente, então f p também não será extremidade de J .

Assim, existe r > 0 tal que f p - r e f p + r pertencem ao intervalo J , certo?

Passo 2

Agora vamos tomar ϵ > 0 , com ϵ < r . Teremos f p - ϵ e f p + ϵ também pertencendo a J , ne?

Desse modo, vão existir p 1 e p 2 em I tais que f p 1 = f p - ϵ e f p 2 = f p + ϵ .

Como f é estritamente crescente, teremos, para todo x em I :

p 1 < x < p 2 ⇒ f p 1 < f x < f p 2

⇒ f p - ϵ < f x < f p + ϵ

Logo, f é contínua em p .

Passo 3

Até agora, provamos que f é contínua apenas em pontos que não fossem extremidade do intervalo I do domínio. Então, suponhamos que q seja extremidade, digamos, superior, de I .

Nesse caso, existe r > 0 tal que f q - r pertence ao intervalo J da imagem.

Então, para todo ϵ > 0 , com ϵ < r , também teremos f q - ϵ pertencendo a J .

Ou seja, existirá q 1 em I tal que f q 1 = f q - ϵ , de modo que, se f for estritamente crescente, teremos, para todo x :

q 1 < x ≤ q ⇒ f q 1 < f x ≤ f q

⇒ f q - ϵ < f x ≤ f q

Logo, f é contínua em q .

E portanto, f é contínua em todo o seu domínio I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule.e) a r ct g- 1
Seja f uma função inversível com inversa g . Mostre quea) f g x = x para todo x ∈ D g b) g f x = x para todo x ∈ D f
Seja f x = x + e x e seja g sua inversa.a) Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos.b) Prove que g é estritamente crescente.c) Prove que g é contínua. (Sugestão: Utilize o Exercício 12.)
Calculeg) a r cs e n s e n2 π 3 (Cuidado!)
Calcule.g) a r cs e n - 1 2