Verifique que

b) sec(arctg x) = raiz(1 + x^2)

Passo 1

Digamos que y = a r c   t g   x , então temos que provar que:

sec ⁡ y = 1 + x 2

Vamos lembrar a seguinte relação:

1 + t g 2   y = sec 2 ⁡ y

sec ⁡ y = ± 1 + t g 2   y

Passo 2

Porém, se o ângulo y ∈ - π 2 , π 2 , então sec ⁡ y tem que ser positivo:

sec ⁡ y = 1 + t g 2   y

E para y nesse intervalo, podemos escrever t g   y = x , pois temos y = a r c   t g   x , por ser função inversa:

sec ⁡ y = 1 + x 2

sec ⁡ a r c   t g   x = 1 + x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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