Ache dy / dx

sen^(-1)(xy) = cos^(-1)(x + y)

Passo 1

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y x

Então quando derivarmos y , temos que colocar = y ' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com sen - 1 ⁡ x y , Temos que usar a regra da caideia aqui:

f x = sen - 1 ⁡ x y

Assim:

f x = h g x

Com

h x = sen - 1 ⁡ x

g x = x y

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f ' x = h ' g x g ' x

Temos

g ' x = 1 1 - x 2

Que é a derivada de sen - 1 ⁡  

Então

f ' x = 1 1 - g x 2 g ' x

Passo 2

Vamos achar a derivada de g x , vamos usar a regra do produto:

g x = x y → g ' x = x ' y + y ' x = y + x y '

Vamos ter

f ' x = 1 1 - x y 2 y + x y '

Passo 3

Vamos para o outro lado, Temos que usar a regra da caideia aqui:

A x = cos - 1 ⁡ x + y

Assim:

A x = m n x

Com

m x = cos - 1 ⁡ x

n x = x + y

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A ' x = m ' n x n ' x

Temos

m ' x = - 1 1 - x 2

Que é a derivada de sen - 1 ⁡  

Então

A ' x = - 1 1 - n x 2 n ' x

Passo 4

Vamos achar a derivada de n x , vamos usar a regra do produto:

n x = x + y → n ' x = x ' + y ' = 1 + y '

Vamos ter

A ' x = - 1 1 - x + y 2 1 + y '

Passo 5

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

1 1 - x y 2 y + x y ' = - 1 1 - x + y 2 1 + y '

Vamos isolar o y '

y 1 - x y 2 + y ' x 1 - x y 2 = - 1 1 - x + y 2 - y ' 1 1 - x + y 2

y ' x 1 - x y 2 + y ' 1 1 - x + y 2 = - 1 1 - x + y 2 - y 1 - x y 2

y ' x 1 - x y 2 + y ' 1 1 - x + y 2 = - 1 1 - x + y 2 - y 1 - x y 2

y ' x 1 - x y 2 + 1 1 - x + y 2 = - 1 1 - x + y 2 - y 1 - x y 2

y ' x 1 - x + y 2 + 1 - x y 2 1 - x + y 2 1 - x y 2 = - 1 - x y 2 - y 1 - x + y 2 1 - x y 2 1 - x + y 2

Simplificando os denominadores:

y ' x 1 - x + y 2 + 1 - x y 2 = - 1 - x y 2 - y 1 - x + y 2

Vamos passar o monstro dividindo para o outro lado.

y ' = - 1 - x y 2 - y 1 - x + y 2 x 1 - x + y 2 + 1 - x y 2

Resposta

y ' = - 1 - x y 2 - y 1 - x + y 2 x 1 - x + y 2 + 1 - x y 2

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