Enunciado

Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = 5 1 - 4 x 2

Podemos reescrever a função como uma série geométrica, sendo assim, temos:

f x = 5 1 1 - 4 x 2 = 5 ∑ n = 0 ∞ 4 x 2 n = 5 ∑ n = 0 ∞ 4 n x 2 n

Passo 2

Então, pelo teste da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 1 x 2 ( n + 1 ) 4 n x 2 n = lim n → ∞ ⁡ 4 x 2 = 4 x 2

Sendo assim, pelo teste da razão, a série converge quando:

4 x 2 < 1 → x 2 < 1 4 → x < 1 2

Dessa forma, temos:

- 1 2 < x < 1 2

E o raio de convergência é:

R = 1 2 - - 1 2 2 = 1 2

Passo 3

E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por:

I = - 1 2 , 1 2

Resposta

5 ∑ n = 0 ∞ 4 n x 2 n

I = - 1 2 , 1 2

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Se f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n , onde c n + 4 = c n para todo n ≥ 0 , encontre o intervalo de convergência da série e uma fórmula para f x .
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