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Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?

a n = 3 - 2 n e - n

Passo 1

Galerinha, uma função f x é dita monotônica se e somente se f ' ( x ) manter o mesmo sinal para todo x . Além disso, a função pode ser crescente se f x < f ( x + 1 ) para todo x e pode ser decrescente se f x > f ( x + 1 ) para todo x . Vamos ver o nosso caso aqui.

Para n = 1 , temos:

f 1 = 3 - 2 e - 1 = 2,26

Para n = 2 , temos:

f 2 = 3 - 4 e - 2 = 2,45

Para n = 3 , temos:

f 3 = 3 - 6 e - 3 = 2,70

Observando os valores acima, vemos que estão crescendo conforme aumenta o valor de n , logo f é crescente em ( 1 , ∞ ) . Logo, a sequência a n é crescente.

Passo 2

Vamos verificar agora se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!

L = lim n → ∞ ⁡ 3 - 2 n e - n = lim n → ∞ ⁡ 3 - 2 n e n = 3 - lim n → ∞ ⁡ 2 n e n

Aplicando o limite, temos:

L = ∞ ∞

Caímos numa indeterminação! Para sairmos dela, vamos aplicar a regra de L’Hospital:

L = 3 - lim n → ∞ ⁡ 2 e n

Resolvendo o limite:

L = 3

Portanto, a sequência é limitada em 3 !

Resposta

A sequência é limitada e crescente.

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