Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = 2 - n c o s n π

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ 2 - n c o s n π

Passo 2

Vamos avaliar primeiro essa série. Sabemos que a função cosseno varia entre - 1 e 1 . Assim, temos:

- 1 ≤ cos ⁡ ( n π ) ≤ 1

Vamos dividir tudo por 2 n .

- 1 2 n ≤ cos ⁡ ( n π ) 2 n ≤ 1 2 n

Vamos avaliar os limites desse intervalo. Primeiro temos que:

L 1 = lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n = 0

Agora, na outra ponta, temos:

L 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n

Aplicando o limite temos:

L 2 = 1 2 ∞ = 0

Logo, podemos escrever que:

lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n ≤ l i m n → ∞ cos ⁡ ( n π ) 2 n ≤   l i m n → ∞ 1 2 n

0 ≤ l i m n → ∞ cos ⁡ ( n π ) 2 n ≤ 0

Assim, pelo teorema do Confronto, a sequência converge para zero!

Resposta

A série converge para zero!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.29. a n = e - 1 / n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.25. a n = n 4 n 3 - 2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.26. a n = 2 + ( 0.86 ) n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.27. a n = 3 n 7 - n
Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue. 4 , - 1 , 1 4, - 1 16 , 1 64 , …