Enunciado

Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = 4 2 x + 3

Podemos reescrever a função como:

f x = 4 3 1 1 + 2 x / 3 = 4 3 1 1 - - 2 x 3 =

= 4 3 ∑ n = 0 ∞ - 2 x 3 n

Passo 2

Então, pelo teste da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 2 x n + 1 3 n + 1 - 3 n 2 x n = lim n → ∞ ⁡ 2 x 3 = 2 x 3

Sendo assim, pelo teste da razão, a série converge quando:

2 x 3 < 1 → x < 3 2

Dessa forma, temos:

- 3 2 < x < 3 2

E o raio de convergência é:

R = 3 2 - - 3 2 2 = 3 2

Passo 3

E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por:

I = - 3 2 , 3 2

Resposta

4 3 ∑ n = 0 ∞ - 2 x 3 n

I = - 3 2 , 3 2

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