Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para f , o gráfico de f e várias somas parciais s n ( x ) no mesmo gráfico. O que acontece com o incremento de n ?

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = x 2 x 2 + 1

Podemos reescrever a função como:

f x = x 2 1 1 - - x 2

Passo 2

E, reescrevendo como uma série de potência, temos:

x 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2

Essa série é convergente para:

- x 2 < 1 → x 2 < 1

- 1 < x < 1

Sendo assim, o raio de convergência é:

R = 1 - ( - 1 ) 2 = 1

Passo 3

As somas parciais da série são:

s 1 = x 2 ,   s 2 = s 1 - x 4 ,   s 3 = s 2 + x 6 ,   s 4 = s 3 - x 8 …

É possível perceber que, com o incremento de n , s n ( x ) se aproxima do intervalo de convergência encontrado no passo 2, ( - 1,1 ) . O gráfico contendo o gráfico de f e as primeiras somas parciais é mostrado a seguir:

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2

R = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais. ∫ 0 0,1 xa r c t g 3 x d x
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t 1 + t ³ d t ³
Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais. ∫ 0 0,3 x 2 1 + x 4 d x
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 - x 3
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 t g - 1 ( x 3 )