Enunciado

Encontre a série de Taylor para f centrada em 4 se

f n 4 = - 1 n n ! 3 n ( n + 1 )

Qual é o raio de convergência da série de Taylor?

Passo 1

Com o auxílio da equação 6 apresentada nessa seção, temos que a série de Taylor será dada por:

∑ n = 0 ∞ f n 4 n ! x - 4 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 3 n n + 1 n ! x - 4 n  

Sendo assim, a série de Taylor para f é dada por:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n n + 1 x - 4 n

Passo 2

Agora, aplicando o teste da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 4 n + 1 3 n + 1 n + 2 . 3 n n + 1 - 1 n x - 4 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 x - 4 n + 1 3 ( n + 2 ) = 1 3 x - 4 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 = 1 3 x - 4

Passo 3

Dessa forma, temos que, para obter a convergência:

1 3 x - 4 < 1 → x - 4 < 3

Sendo assim, o raio de convergência é:

R = 3

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n n + 1 x - 4 n

R = 3

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