Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (1) d y d t = 4 x - 5 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essa equação com diferenciais, temos

d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = 4 x - 5 d y = 4 x - 5 d x ∫ d y = ∫ 4 x - 5 d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

∫ d y = ∫ 4 x - 5 d x y + K 1 = 4 x 2 2 - 5 x + K 2 y = 2 x 2 - 5 x + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y = 2 x 2 - 5 x + K

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o campo de direções das equações diferenciais dadas. Use-os para esboçar a curva que passa pelo ponto dado.12. y ' = 1 - x y ( 0,0 )
Esboce o campo de direções para a equação diferencial. Use-o para esboçar três curvas solução. y ' = 1 + y
Um campo de direções para uma equação diferencial é apresentado. Desenhe, com uma régua, os gráficos das aproximações de Euler para a curva solução que passa pela origem. Use os passos h = 1eh = 0,5 .
Esboce o campo de direções das equações diferenciais dadas. Use-os para esboçar a curva que passa pelo ponto dado.13. y ' = y + x y ( 0,1 )
Use o método de Euler com o passo 0,1 para estimar y 0,5 , onde y x é a solução do problema de valor inicial y ' = y + x y , y 0 = 1