Enunciado

A função custo marginal para um determinado artigo é dada por C ' x = 3 ( 5 x + 4 ) - 1 / 2 . Se o custo geral for $10, ache a função custo total.

Passo 1

O custo marginal é a primeira derivada da função custo total C. Assim, C pode ser obtido de C’ por antidiferenciação. Assim que determinarmos a função custo total, a constante que sempre aparece no final pode ser calculada se conhecermos o custo geral (que é o custo quando nenhuma unidade é produzida!). Do enunciado podemos extrair essa informação!

C 0 = 10

Agora vamos montar a função custo total.

C x = ∫ C ' x d x C x = ∫ 3 ( 5 x + 4 ) - 1 / 2 d x

Passo 2

O polinomino que possui o expoente não deixa nossa integração ser tranquila de ser resolvida. Portanto, vamos utilizar o método da substituição de variáveis para facilitar o entendimento dela. Vamos dizer que u = 5 x + 4 . Derivando dos dois lado da equação temos:

u = 5 x + 4 d u = 5 d x d u 5 = d x Substituindo na integral temos

C u = ∫ 3 u - 1 2 d u 5

Passo 3

Feita a substituição, podemos calcular a integral.

C u = ∫ 3 u - 1 2 d u 5 C u = 3 5 ∫ u - 1 2 d u C u = 3 5 u 1 2 1 2 + K C u = 6 5 u 1 2 + K C x = 6 5 ( 5 x + 4 ) 1 / 2 + K

Passo 4

Uma vez obtida a função de custo total, vamos aplicar o valor inicial dado no eneunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

C 0 = 10 C 0 = 6 5 5 * 0 + 4 1 2 + K = 10 6 5 4 1 2 + K = 10 6 5 . 2 + K = 10 12 5 + K = 10 K = 10 - 12 5 K = 38 5

Resposta

O resultado final é:

C x = 6 5 ( 5 x + 4 ) 1 / 2 + 38 5

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