Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (20) d ² y d x ² = - 3 x 4 ; y = 1 2   e d y d x = - 1   q u a n d o   x = 1 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. Um tipo de equação diferencial é a de segunda ordem, da forma d ² y d x ² = f ( x ) , assim como a equação do nosso exercício! O primeiro passo é escrever essa derivada dupla de uma outra forma.

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

O segundo passo é tomar y ' = d y d x e aí reescever a equação diferencial. Vamos fazer isso aplicando no nosso exercício.

d 2 y d x 2 = d y ' d x = - 3 x 4 d y ' = - 3 x - 4 d x ∫ d y ' = ∫ - 3 x - 4 d x ∫ d y ' = - 3 ∫ x - 4 d x

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d y ' = - 3 ∫ x - 4 d x y ' = - 3 x - 3 - 3 + K 1 y ' = x - 3 + K 1

Passo 3

Aplicando as condições inicias na equação encontrada temos:

d y d x = - 1   q u a n d o   x = 1 - 1 = 1 - 3 + K 1 - 1 = 1 + K 1 K 1 = - 2

Portanto,

y ' = x - 3 - 2

Passo 4

No entanto, y ' = d y d x ! Fazendo essa substituição:

d y d x = x - 3 - 2 d y = x - 3 - 2 d x ∫ d y = ∫ x - 3 - 2 d x y = x - 2 - 2 - 2 x + K 2 y x = - x - 2 2 - 2 x + K 2

Passo 5

Aplicando as condições iniciais na equação encontrada:

y = 1 2   q u a n d o   x = 1 1 2 = - 1 2 2 - 2 * 1 + K 2 1 2 = - 1 2 - 2 + K 2 K 2 = 3

Portanto,

y x = - x - 2 2 - 2 x + 3

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y x = - x - 2 2 - 2 x + 3

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