Enunciado

Resolva a equação diferencial por dois métodos:

a)Use um fator de integração

d y d x + y cos ⁡ x = 0

Passo 1

A equação diferencial é linear de primeira ordem em y , pois podemos escrevê-la na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Com P x = cos ⁡ x e Q x = 0 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + k

e ∫ P x d x = e sen ⁡ x

Multiplicando a equação por e sen ⁡ x :

e sen ⁡ x d y d x + e sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ y = 0

Passo 3

Como d e sen ⁡ x d x = e sen ⁡ x cos ⁡ x , temos:

e sen ⁡ x d y d x + d e sen ⁡ x d x   y = 0 ⇒ d y e sen ⁡ x d x = 0

Agora integrando:

∫ d y e sen ⁡ x d x = 0 ⇒ y e sen ⁡ x = C ⇒ y = C e - sen ⁡ x

Resposta

y = C e - sen ⁡ x

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