Enunciado

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t 3 - 12 t

y = t 2 - 1

Passo 1

A derivada primeira da curva é dada por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = t 2 - 1

d y d t = 2 t

Agora a derivada de x :

x = t 3 - 12 t

d x d t = 3 t 2 - 12

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 2 t 3 t 2 - 12

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos.

d y d x = 2 t 3 t 2 - 12

Usando a regra do quociente:

d d t d y d x = 2 3 t 2 - 12 - 6 t 2 t ( 3 t 2 - 12 ) 2

d d t d y d x = 6 t 2 - 24 - 12 t 2 ( 3 t 2 - 12 ) 2

d d t d y d x = - 6 t 2 + 24 ( 3 t 2 - 12 ) 2

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir.

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = - 6 t 2 + 24 ( 3 t 2 - 12 ) 2 3 t 2 - 12

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = - 6 t 2 + 24 ( 3 t 2 - 12 ) 3

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer

d 2 y d x 2 = - 6 t 2 + 24 ( 3 t 2 - 12 ) 3 > 0

Esse numerador é sempre maior do que zero porque tem um termo ao quadrado somado com uma constante.

Então, essa derivada segunda vai ser maior do que zero quando o denominador for menor do que zero, por causa desse sinal de menos que tem na frente. Assim,

( 3 t 2 - 12 ) 3 < 0

3 t 2 - 12 < 0

3 t 2 < 12

t 2 < 4

- 2 < t < 2

Resposta

d y d x = 2 t 3 t 2 - 12

d 2 y d x 2 = - 6 t 2 + 24 ( 3 t 2 - 12 ) 3

A concavidade da curva é para cima quando - 2 < t < 2 .

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