Enunciado

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t - e t

y = t + e - t

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para resolver essa atividade de derivadas?

Temos uma curva parametrizada dada por:

x = t - e t

y = t + e - t

E queremos então encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa parametrização.

A derivada primeira da curva é dada por:

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t

Que é a derivação da primeira derivada que iremos encontrar. Após encontrarmos a nossa segunda derivada poderemos dizer se a curva é concava para cima ou para baixo.

A curva é concava para cima quando:

d 2 y d x 2 > 0

E concava para baixo quando:

d 2 y d x 2 < 0

Passo 2

Vamos começar pela derivada de y :

y = t + e - t

d y d t = 1 - e - t

Agora a derivada de x :

x = t - e t

d x d t = 1 - e t

Substituindo na fórmula:

d y d x = d y d t d x d t = 1 - e - t 1 - e t

Reescrevendo e - t como fração:

d y d x = 1 - 1 e t 1 - e t

Realizando o mmc:

d y d x = e t - 1 e t 1 - e t

Agora realizando a divisão de frações:

d y d x = e t - 1 e t ∙ 1 1 - e t

d y d x = - 1 e t

d y d x = - e - t

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos:

d y d x = - e - t

d d t d y d x = e - t

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir.

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = e - t 1 - e t

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer:

d 2 y d x 2 = e - t 1 - e t > 0

Como e - t > 0 essa derivada segunda aí vai ser maior do que zero se:

1 - e t > 0

e t < 1

O que ocorre quando t < 0 .

Resposta

d y d x = - e - t

d 2 y d x 2 = e - t 1 - e t

A concavidade da curva é para cima quando t < 0 .

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