Enunciado

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

11. d y d x = y 2 + 1               y 1 = 0

Passo 1

Queremos resolver a equação d y d x = y 2 + 1 ,     se conseguirmos deixar de um lado termos com somente x e do outro termos com somente y podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar y , dessa forma:

d y d x = y 2 + 1

d y y 2 + 1 = d x              

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de x , assim:

∫ d y y 2 + 1 = ∫ d x  

a r c t g y = x + C

Nunca esqueça de que em uma integral indefinida sempre temos uma constante C .

y = t g ( x + C )

Passo 3

Estamos quase lá, a questão não acabou aqui ainda não. No enunciado nos foi dado uma condição inicial: y 1 = 0 , então para nossa resposta estar correta precisamos satisfazer essa condição. Note que a equação que encontramos é do tipo y ( x ) , então basta trocarmos x por 1 . Assim,

y ( x ) = t g ( x + C )

y 1 = t g 1 + C = 0

Para que isso seja verdade precisamos que 1 + C = 0 . Então C = - 1 , nossa resposta final fica:

y = t g ( x - 1 )

Resposta

11. y = t g ( x - 1 )

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