Em cada um dos problemas de 9 a 20:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.
(b) Desenhe o gráfico da solução.
(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
,
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema foi dada a equação:
Dado que .
Temos que encontrar a solução PVI dessa equação, desenhar seu gráfico e determinar o intervcalo em que a solução é definida.
Lembra como fazemos isso?
Podemos perceber pela estrutura da equação que se trada de uma EDO separável, já que podemos separar e em cada lado da igualdade.
Dessa forma, para encontrar a solução do problema, basta integrarmos nos dois lados e isolar em um lado da igualdade.
Saca só!
Passo 2
a) A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.
Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem do outro lado.
Assim, temos:
Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados
Integrando dos dois lados, temos:
Isolando em um lado da igualdade:
No enunciado há uma informação de que . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.
Vamos usar a equação antes de isolar para facilitar as contas:
Assim, a equação é:
Podemos ainda reescrever usando a identidade trigonométrica:
Ou seja:
Como está associado a um arcoseno, então essa equação é periódica com periodo de , ou seja:
Pra satisfazer a condição de contorno, aplicado novamente.
E finalmente...
Show?
Passo 3
b) vamos plotar o gráfico da solução usando uma ferramenta computacional...
Passo 4
c) Temos como equação final da EDO o seguinte:
Assim, o intervalo em que a solução são as raízes da equação, quando y é igual a zero e ela está definida é com:
(aproximadamente)
É isso! O que achou? Responde Aí!