Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

sen 2x dx + cos 3y dy = 0 , y(pi/2) = pi/3

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a equação:

s e n   2 x   d x   + cos ⁡ 3 y d y   =   0

Dado que y ( π / 2 )   =   π / 3 .

Temos que encontrar a solução PVI dessa equação, desenhar seu gráfico e determinar o intervcalo em que a solução é definida.

Lembra como fazemos isso?

Podemos perceber pela estrutura da equação que se trada de uma EDO separável, já que podemos separar x e y em cada lado da igualdade.

Dessa forma, para encontrar a solução do problema, basta integrarmos nos dois lados e isolar y em um lado da igualdade.

Saca só!

Passo 2

a) A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado.

Assim, temos:

s e n   2 x   d x   = -   c o s   3 y   d y  

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ s e n   2 x   d x   =   ∫ -   c o s   3 y   d y

- 1 2 cos ⁡ 2 x + c = - s e n   3 y 3 + c '

s e n   3 y 3 = 1 2 cos ⁡ 2 x + C

Isolando y em um lado da igualdade:

s e n   3 y = 3 2 cos ⁡ 2 x + C

3 y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + C

y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + C 3

No enunciado há uma informação de que y ( π / 2 )   =   π / 3 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

Vamos usar a equação antes de isolar y para facilitar as contas:

s e n   3 y = 3 2 cos ⁡ 2 x + C → s e n 3 π 3 = 3 2 cos ⁡ 2 π 2 + C

sin ⁡ 3 π 3 = 3 2 cos ⁡ π 2 2 + C

0 = - 3 2 + C

C = 3 2

Assim, a equação é:

y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + 3 2 3

y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + 1 3

Passo 3

b) vamos plotar o gráfico da solução usando uma ferramenta computacional...

Passo 4

c) Temos como equação final da EDO o seguinte:

O domínio da função y ( x ) é restrito pela função arcsin ⁡ u . Para que arcsin ⁡ u seja definida, seu argumento u deve satisfazer:

- 1 ≤ u ≤ 1

- 1 ≤ 3 2 1 + cos ⁡ 2 x ≤ 1

Vamos analisar a restrição inferior:

- 1 ≤ 3 2 1 + cos ⁡ 2 x - 2 3 ≤ 1 + cos ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x ≥ - 1 - 2 3 = - 5 3

Como o valor mínimo de cos ⁡ 2 x é - 1 , e - 1 > - 5 3 , está restrição é sempre satisfeita.

Restrição Superior:

3 2 1 + cos ⁡ 2 x ≤ 1 1 + cos ⁡ 2 x ≤ 2 3 cos ⁡ 2 x ≤ 2 3 - 1 = - 1 3

Portanto, o intervalo de definição da solução é onde cos ⁡ 2 x ≤ - 1 3 .

A condição inicial x = π 2 deve estar contida neste intervalo. Para x = π 2 :

cos ⁡ 2 ⋅ π 2 = cos ⁡ π = - 1

2 x = arccos ⁡ - 1 3 ≈ 1.9106

2 x ≈ ± 1.9106 + 2 n π

Seja α = arccos ⁡ - 1 3 ≈ 1.9106 . O intervalo onde cos ⁡ 2 x ≤ - 1 3 é:

α + 2 n π ≤ 2 x ≤ 2 π - α + 2 n π

α 2 + n π ≤ x ≤ π - α 2 + n π

Para n = 0 :

1.9106 2 ≤ x ≤ π - 1.9106 2 0.9553 ≤ x ≤ 2.1863

A solução está definida no intervalo:

x ∈ 1 2 a r c c o s ⁡ - 1 3 , π - 1 2 a r c c o s ⁡ - 1 3

Resposta

y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + 1 3

x ∈ 1 2 a r c c o s ⁡ - 1 3 , π - 1 2 a r c c o s ⁡ - 1 3

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