Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

sen 2x dx + cos 3y dy = 0 , y(pi/2) = pi/3

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a equação:

s e n   2 x   d x   + cos ⁡ 3 y d y   =   0

Dado que y ( π / 2 )   =   π / 3 .

Temos que encontrar a solução PVI dessa equação, desenhar seu gráfico e determinar o intervcalo em que a solução é definida.

Lembra como fazemos isso?

Podemos perceber pela estrutura da equação que se trada de uma EDO separável, já que podemos separar x e y em cada lado da igualdade.

Dessa forma, para encontrar a solução do problema, basta integrarmos nos dois lados e isolar y em um lado da igualdade.

Saca só!

Passo 2

a) A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado.

Assim, temos:

s e n   2 x   d x   = -   c o s   3 y   d y  

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ s e n   2 x   d x   =   ∫ -   c o s   3 y   d y

- 1 2 cos ⁡ 2 x + c = - s e n   3 y 3 + c '

s e n   3 y 3 = 1 2 cos ⁡ 2 x + C

Isolando y em um lado da igualdade:

s e n   3 y = 3 2 cos ⁡ 2 x + C

3 y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + C

y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + C 3

No enunciado há uma informação de que y ( π / 2 )   =   π / 3 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

Vamos usar a equação antes de isolar y para facilitar as contas:

s e n   3 y = 3 2 cos ⁡ 2 x + C → s e n 3 π 3 = 3 2 cos ⁡ 2 π 2 + C

0 = - 3 2 + C

C = 3 2

Assim, a equação é:

y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + 3 2 3

y = arcsin ⁡ 3 2 cos ⁡ 2 x + 1 3

Podemos ainda reescrever cos ⁡ 2 x usando a identidade trigonométrica:

cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1

Ou seja:

y = arcsin ⁡ 3 2 2 cos 2 ⁡ x - 1 + 1 3

y = arcsin ⁡ 3 cos 2 ⁡ x 3

Como y está associado a um arcoseno, então essa equação é periódica com periodo de 2 π n , ou seja:

y = arcsin ⁡ 3 cos 2 ⁡ x 3 + 2 π n

Pra satisfazer a condição de contorno, aplicado y π 2 = π 3 novamente.

π 3 = arcsin ⁡ 3 cos 2 ⁡ π 2 3 + 2 π n

π 3 = 2 π n

n = 1 6

E finalmente...

y = arcsin ⁡ 3 cos 2 ⁡ x 3 + 2 π 6

y = arcsin ⁡ 3 cos 2 ⁡ x + �� 3

Show?

Passo 3

b) vamos plotar o gráfico da solução usando uma ferramenta computacional...

Passo 4

c) Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = π + a r c s e n 3 c o s 2 x 3

Assim, o intervalo em que a solução são as raízes da equação, quando y é igual a zero e ela está definida é com:

x   -   π / 2 < 0,6155   (aproximadamente)

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y = π + a r c s e n 3 c o s 2 x 3

x   -   π / 2 < 0,6155

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