Ache a soma:

∑ i = 1 100 2 i ( i 3 - 1 )

Passo 1

Os somatórios de potências de i , com i indo de 1 a n , são calculados pelas fórmulas:

∑ i = 1 n i = n n + 1 2

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

∑ i = 1 n i 4 = n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 30

Devemos então desenvolver o somatório para colocar em função desses valores e então substituir.

Passo 2

Temos então:

∑ i = 1 n 2 i ( i 3 - 1 ) = ∑ i = 1 n ( 2 i 4 - 2 i ) = ∑ i = 1 n 2 i 4 + ∑ i = 1 n ( - 2 i ) = 2 ∑ i = 1 n i 4 - 2 ∑ i = 1 n i

Passo 3

Substituindo pelos valores da fórmula, temos então:

∑ i = 1 n 2 i ( i 3 - 1 ) = 2 n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 30 - 2 n n + 1 2

= n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 15 - 15 n n + 1 15

= n n + 1 15 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 + n n + 1 15 ( - 15 )

= n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 16 15

Para n = 100 :

n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 16 15 = 100 ⋅ 101 ⋅ 6 ⋅ 100 3 + 9 ⋅ 100 2 + 100 - 16 15

= 100 ⋅ 101 ⋅ 6090084 15 = 4100656560

Resposta

∑ i = 1 100 2 i ( i 3 - 1 ) = 4100656560

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