Enunciado

Ache a solução completa para a equação diferencial:

x d y d x + 4 y = 5 x

Passo 1

Para verificar que a equação diferencial é de primeira ordem em y , devemos coloca-la na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

Dividimos então ela por x , supondo x ≠ 0 , e obtemos:

d y d x + 4 x y = 5

Agora a equação diferencial está como queríamos, com P x = 4 x e Q x = 5 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ 4 x d x = 4   l n ⁡ | x | + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e 4   l n ⁡ | x | = e ln ⁡ x 4 = x 4 = x 4

Multiplicando a equação diferencial por x 4 :

x 4   d y d x + 4 x 4 x y = 5 x 4 ⇒ x 4 d y d x + 4 x 3 y = 5 x 4

Passo 3

Como d x 4 d x = 4 x 3 , temos:

x 4 d y d x + d ( x 4 ) d x   y = 5 x 4 ⇒ d x 4 y d x = 5 x 4

Agora integrando:

∫ d ( x 4 y   ) = ∫ 5 x 4 d x ⇒ x 4 y = x 5 + C ⇒ y = x + C x 4

Notamos que de fato x = 0 não faz parte do domínio da função y , pois a função vai a infinito para esse valor.

Resposta

y = x + C x 4

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