Enunciado

Ache a e b , tais que a função definida por

f x = x 3 + a x 2 + b

Tenha um extremo relativo em 2,3

Passo 1

Bem, para ter um extremo relativo naquele ponto, devemos olhar a derivada de f x .

Vamos lá:

f ' x = 3 x 2 + 2 a x

Essa é uma função de 2 ° . Para termos um extremo, ela deve variar osinal da derivada naquele ponto.

A função de 2 ° varia o sinal nas duas raízes que ela tem.

Assim, basta ter:

f ' 2 = 0

Vamos resolver essa equação:

f ' 2 = 3 2 2 + 2 a 2 = 12 + 4 a = 0

12 + 4 a = 0

4 a = - 12

a = - 12 4

a = - 3

Passo 2

Achamos o a , falta achar o b .

Para isso, temos que garantir que o ponto 2,3 está na nossa função

f 2 = 3

Vamos fazer isso:

f 2 = 2 3 + a 2 2 + b = 8 + 4 a + b = 3

Vamos ter:

8 + 4 a + b = 3

Substituindo o valor de a que achamos:

8 + 4 - 3 + b = 3

8 - 12 + b = 3

- 4 + b = 3

b = 3 + 4

b = 7

Vamos encontrar então:

a = - 3

b = 7

Resposta

a = - 3

b = 7

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