Enunciado

45. Ache a, b, c e d, de tal forma que a função definida por

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

tenha extremos relativos em (1,2) e (2,3)

Passo 1

Podemos ver com o teorema 4.4.4 do livro algumas ideias importantes para os extremos relativos, a que será fundamental para resolução do exercício é que no ponto dos extremos relativos f ' x = 0 .

E por quê? Bom, porque a nossa função tem inclinação nula nesse determinado ponto e como já sabemos bem que a derivada é a inclinação da reta, se não tem inclinação a derivada é 0.

Com esse lembrete já estamos prontos para começar nossa resolução.

Passo 2

Primeiramente vamos pegar nossa função e derivá-la, pois iremos usar a função e a derivada da função a partir de agora.

Nossa função é:     f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

E sua derivada é:   f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Os dois pontos de extremos relativos nos foi dado pelo enunciado então vamos pegá-los e encaixá-los apropriadamente na nossa função.

Passo 3

1º ponto – ( 1,2 )

Neste ponto f x = y = 2 e x = 1 então nossa função fica:

2 = a + b + c + d

E a derivada da função fica:

0 = 3 a + 2 b + c

Igualado a zero pois como explicamos no Passo 1, não há inclinação nesse ponto.

Passo 4

2º ponto – ( 2 , 3 )

Neste ponto f x = y = 3 e x = 2 então nossa função fica:

3 = 8 a + 4 b + 2 c + d

E a derivada da função fica:

0 = 12 a + 4 b + c

Igualado a zero pois como explicamos no Passo 1, não há inclinação nesse ponto.

Passo 5

Temos 4 equações e 4 incógnitas, então vamos resolver um sistema e dele tirar os nossos resultados.

Vamos mexer nesse sistema de forma em colocar tudo em função de b.

3 a + 2 b + c = 0 ⇒ c = - 3 a - 2 b   s u b s t i t u i n d o   c   n a   e q u a ç ã o   a b a i x o ⇒ c =   - 4 b 3 12 a + 4 b + c = 0 ⇒ 12 a + 4 b - 3 a - 2 b = 0 ⇒ a =   - 2 b 9   ( s u b t i t u i n d o   a   n a   e q u a ç ã o   a c i m a ) 8 a + 4 b + 2 c + d = 3   s u b s t i t u i n d o   o s   d o i s   r e s u l t a d o s   a c i m a ⇒ d = 27 + 4 b 9   a + b + c + d = 2   s u b s t i t u i n d o   o s   t r ê s   r e s u l t a d o s   a c i m a ⇒ - b + 27 9 = 2 ⇒ b = 9

Passo 6

Descobrimos quem é b, e como deixamos tudo em função de b é só substituir nas outras equações.

a =   - 2 b 9 =   - 2 ⋅ 9 9 =   - 2

c =   - 4 b 3 = - 4 ⋅ 9 3 = - 12

d = 27 + 4 b 9 =   27 + 4 ⋅ 9 9 = 7

Prontinho. Grande, mas sem muito mistério!

Resposta

a =   - 2

b = 9

c = - 1 2

d = 7

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = x 3 + 2 x 2 + x + 1
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). y = x + 1 x 2
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = 3 x 2 + 4 x 1 + x 2
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). x = t 2 1 + t 2
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = x + 1 x