Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = x + 1 x

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão primeiro vamos ter que achar f ' x e depois analisar seu sinal.

Vamos começar derivando a nossa função aplicando a regra do polinômio.

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = x + 1 x ' = x + x - 1 ' = x 0 - x - 2 = 1 - 1 x 2

Podemos ajeitar essa derivada e escrever assim,

f ' x = x 2 - 1 x 2

Agora vamos analisar o sinal!

Passo 2

Repara que o denominador vai ser sempre positivo (pois é um termo ao quadrado), vamos então analisar o numerador igualando ele a zero:

x 2 - 1 = x - 1 x + 1 = 0

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para x + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , - 1 e 1 , + ∞

Ou seja, f é estritamente crescente em - ∞ , - 1 e 1 , + ∞

E em f ' x < 0 vamos ter um ponto de descontinuidade em 0 , assim:

- 1,0 e 0,1

Ou seja, f é estritamente decrescente em - 1,0 e 0,1

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - ∞ , - 1 e 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em - 1,0 e 0,1

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