Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

y = x + 1 x 2

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão primeiro vamos ter que achar f ' x e depois analisar seu sinal.

Vamos começar derivando a nossa função aplicando a regra do polinômio.

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = x + 1 x 2 ' = x + x - 2 ' = x 0 - 2 x - 3 = 1 - 2 x 3

Ajeitando,

f ' x = x 3 - 2 x 3

Agora vamos analisar o sinal!

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x , vamos então analisar o numerador igualando ele a zero:

x 3 - 2 = 0 → x = 2 3

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x 3 - 2 temos:

Já no denominador temos x com o seguinte esquema:

x 3 = 0 → x = 0

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Vamos ter um ponto de descontinuidade em 0 , assim temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , 0 e 2 3 , + ∞

Ou seja, f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 2 3 , + ∞

E em f ' x < 0 :

0 , 2 3

Ou seja, f é estritamente decrescente em 0 , 2 3

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x 2 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x 2 = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 2 3 , + ∞

f é estritamente decrescente em 0 , 2 3

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