Enunciado

Ache todos os valores de x para os quais o número é real

2 x 2 + 5 x - 3

Passo 1

Para que o resultado de uma raiz quadrada seja real precisamos que o que tem dentro dela seja maior ou igual a 0 , ou seja:

2 x 2 + 5 x - 3 ≥ 0

Agora é só resolver a inequação! Se a gente fatorar essa equação, podemos fazer a análise do sinal dela a partir de uma tabelinha de sinal e ficar só com os valores positivos do produto dos fatores.

Passo 2

Podemos fatorar essa equação do 2º grau em termos de suas raízes x 1 e x 2 como:

a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Por Bhaskara, temos:

x 1,2 = - 5 ± 5 2 - 4 ∙ 2 ∙ - 3 2 ∙ 2

E temos nossas duas raízes:

x 1 = 1 / 2

x 2 = - 3

Agora podemos escrever nossa equação como:

2 x - 1 2 x + 3

Passo 3

Agora vamos fazer a análise do sinal da equação com uma tabelinha que nos mostra o sinal de cada binômio e o sinal resultante do produto entre eles. Vamos analisar em todos os números reais, mas vamos dividir entre alguns intervalos e valores importantes. Esses pedaços serão segmentados em cada raiz.

Vemos que nossa condição ( ≥ 0 ) é satisfeita nos dois primeiros intervalos e nos dois últimos: x ≤ - 3 ,     x ≥ 1 2 . Nosso conjunto solução será a união de todos esses intervalos!

Resposta

- ∞ ,   - 3 ∪ [ 1 2 , + ∞ )

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