Enunciado

Ache todos os valores de x para os quais sqrt(x^2 + 2 x - 15) é real.

Passo 1

Vocês devem concordar comigo que para que essa função (que chamaremos de f ( x ) ) seja real, então ela deve ser maior ou igual a zero, certo? Em outras palavras:

f (x) = sqrt(x^2 + 2 x - 15) >= 0

Para facilitar nosso problema, vamos escrever essa função do segundo grau na forma fatorada. Essa forma consiste em escrevermos essa função como um produto entre dois fatores que vamos encontrar agora! Encontrando as raízes dessa função, teremos:

x^2 + 2 x - 15 = 0

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = 2^2 - 4.1 . ( - 15 )

Delta = 4 + 60 = 64

x = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

A primeira raíz será:

x_1 = (- 2 + sqrt(64))/(2) = 3

A segunda raíz será:

x_2 = (- 2 - sqrt(64))/(2) = - 5

Escrevendo na forma fatorada, teremos:

x^2 + 2 x - 15 = (x - 3) . ( x + 5 )

:. f (x) = sqrt((x - 3) . ( x + 5 ))

Passo 2

Agora que escrevemos a função como um produto, temos que ver quando essa multiplicação resulta em um valor positivo ou igual a zero, certo? Vamos fazer assim ó:

a = (x - 3) e b = ( x + 5 )

De acordo com as regras da multiplicação, para isso aí dar positivo ou zero deve acontecer o seguinte:

a . b = p o s i t i v o

(- a) . (- b) = p o s i t i v o

a = 0 => a . b = 0

b = 0 => a . b = 0

Passo 3

Para ( x - 3 ) ser positivo ou igual a zero, temos:

x - 3 >= 0

x >= 3

Para ( x - 3 ) ser negativo ou igual a zero, temos:

x - 3 <= 0

x <= 3

Para ( x + 5 ) ser positivo ou igual a zero, temos:

x + 5 >= 0

x >= - 5

Para ( x + 5 ) ser negativo ou igual a zero, temos:

x + 5 <= 0

x <= - 5

Analisando esses valores de x para que os produtos que escrevemos no passo anterior sejam válidos, teremos:

Para x > 3 :

(x - 3) . (x + 5) = a . b = p o s i t i v o

Para x = 3 :

(x - 3) . (x + 5) = a . b = 0

Para x < - 5 :

(x - 3) . (x + 5) = a . b = p o s i t i v o

Para x = - 5 :

(x - 3) . (x + 5) = a . b . = 0

Como não há valores para que o produto (- a) . ( - b ) ocorra, então temos que os valores de x para que f ( x ) seja real, são:

x <= - 5 o u x >= 3

Resposta

S o l u ç ã o = x <= - 5 o u x >= 3

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