Enunciado

Ache o valor exato da quantidade dada.

( a ) tan (a r c s e n (sqrt(3))/(2)) ; (b) s e n (arctan (sqrt(3))/(2))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Para o item (a), basta lembrar que

a r c s e n (sqrt(3))/(2) = (pi)/(3)

Assim,

tan (a r c s e n (sqrt(3))/(2)) = tan (pi)/(3) = sqrt(3)

Passo 2

Já para o item (b), não sabemos de cabeça qual o arco cuja tangente é sqrt(3) // 2 . Sabemos que a imagem do arco tangente é - (pi)/(2) < y < (pi)/(2) . Assim, chamando

y = arctan (sqrt(3))/(2) ,

temos que y estará no primeiro quadrante, de modo que s e n y será positivo!

Desta forma, temos que

tan y = (sqrt(3))/(2) = (s e n y)/(cos y) => cos y = (2)/(sqrt(3)) s e n y

Assim, da relação fundamental:

cos^2 y + s e n^2 y = 1 => (4)/(3) s e n^2 y + s e n^2 y = 1 => (7)/(3) s e n^2 y = 1 => s e n y = +- sqrt((3)/(7))

Mas como vimos, s e n y é positivo, de modo que

s e n y = s e n (arctan (sqrt(3))/(2)) = sqrt((3)/(7))

Resposta

a) sqrt(3) b) sqrt((3)/(7))

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