Ache o valor exato da quantidade dada.

cos(arcsen(-1/2) + arcsen(1/4))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é lembrar da fórmula do cosseno da soma:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Assim, como a r c s e n   - 1 2 = - π 6 , temos que

cos ⁡ a r c s e n   - 1 2 + a r c s e n 1 4 = cos ⁡ - π 6 cos ⁡ a r c s e n 1 4 - s e n   - π 6   s e n   a r c s e n 1 4

Assim, vamos ter

cos ⁡ a r c s e n   - 1 2 + a r c s e n 1 4 = 3 2 cos ⁡ a r c s e n 1 4 + 1 2 ⋅ 1 4

Portanto

cos ⁡ a r c s e n   - 1 2 + a r c s e n 1 4 = 3 2 cos ⁡ a r c s e n 1 4 + 1 8

Passo 2

Para calcular cos ⁡ a r c s e n 1 4 vamos fazer

x = a r c s e n 1 4 ⇒ s e n   x = 1 4

Assim, pela relação fundamental:

1 16 + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ cos ⁡ x = ± 15 4

Como x está no primeiro quadrante,

cos ⁡ x = cos ⁡ a r c s e n 1 4 = 15 4

Assim,

cos ⁡ a r c s e n   - 1 2 + a r c s e n 1 4 = 3 2 ⋅ 15 4 + 1 8

Logo,

cos ⁡ a r c s e n   - 1 2 + a r c s e n 1 4 = 1 + 3 5 8

Resposta

1 + 3 5 8

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