Enunciado

Ache o valor exato da quantidade dada.

tan (arcsec (5)/(3) + arccsc (- (13)/(12)))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Vamos usar a fórmula da tangente da soma:

tan ( a + b ) = (tan a + tan b)/(1 - tan a tan b)

Neste caso, temos a = arcsec (5)/(3) e b = arccsc (- (13)/(12)) . Desta forma, temos que

sec a = (5)/(3) e csc b = - (13)/(12)

Pelas imagens das funções arco secante e arco cossecante, temos que tan a > 0 e tan b > 0 .

Passo 2

Para acharmos tan a , basta fazer

1 + tan^2 a = sec^2 a => 1 + tan^2 a = (25)/(9) => tan a = (4)/(3)

Analogamente,

1 + cot^2 b = csc^2 b => 1 + cot^2 b = (169)/(144) => cot b = (5)/(12) => tan b = (12)/(5)

Passo 3

Desta forma,

tan (a + b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a tan b) = ((4)/(3) + (12)/(5))/(1 - (4)/(3) * (12)/(5)) = ((20 + 36)/(15))/((15 - 48)/(15)) = (56)/(- 33)

Portanto,

tan (arcsec (5)/(3) + arccsc (- (13)/(12))) = - (56)/(33)

Resposta

- (56)/(33)

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