Ache o valor exato da quantidade dada.

tan(arcsec(5 / 3) + arccsc(-13 / 12))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Vamos usar a fórmula da tangente da soma:

tan ⁡ ( a + b ) = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a tan ⁡ b

Neste caso, temos a = arcsec ⁡ 5 3 e b = arccsc ⁡ - 13 12 . Desta forma, temos que

sec ⁡ a = 5 3         e       csc ⁡ b = - 13 12

Pelas imagens das funções arco secante e arco cossecante, temos que tan ⁡ a > 0 e tan ⁡ b > 0 .

Passo 2

Para acharmos tan ⁡ a , basta fazer

1 + tan 2 ⁡ a = sec 2 ⁡ a ⇒ 1 + tan 2 ⁡ a = 25 9 ⇒ tan ⁡ a = 4 3

Analogamente,

1 + cot 2 ⁡ b = csc 2 ⁡ b ⇒ 1 + cot 2 ⁡ b = 169 144 ⇒ cot ⁡ b = 5 12 ⇒ tan ⁡ b = 12 5

Passo 3

Desta forma,

tan ⁡ a + b = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a tan ⁡ b = 4 3 + 12 5 1 - 4 3 ⋅ 12 5 = 20 + 36 15 15 - 48 15 = 56 - 33

Portanto,

tan ⁡ arcsec ⁡ 5 3 + arccsc ⁡ - 13 12 = - 56 33

Resposta

- 56 33

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