Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f t = 2 s i n   t ; [ - π ,   π ]

Passo 1

Vamos fazer o exercício do jeito que ele, usando o Teorema do Valor Extremo. Esse teorema diz que se uma função é continua em um intervalo fechado, ela terá um máximo absoluto e um mínimo absoluto nesse intervalo fechado. Vamos seguir o mesmo passo a passo que o livro usa nos exemplos 3 e 4:

  1. Ache os valores dos números críticos de f em a ,   b
  2. Ache os valores de f a e f b
  3. O maior dos dois valores será o máximo absoluto e o menor valor será o mínimo absoluto

Passo 2

Derivando a f ( t ) , ficamos com:

d f d t = d d t 2 s e n   t

d f d t = 2 d d t s e n   t

E como a derivada de s e n   x = c o s x :

d f d t = 2 cos ⁡ t

Passo 3

Agora precisamos dos valores onde f ' t = 0 .

2 cos ⁡ t = 0

Ou seja:

cos ⁡ t = 0

Então:

t = n + 1 2 π

Onde n   ∈ Z .

Passo 4

Então vamos precisar de um t que esteja presente no intervalo - π ,   + π e que satisfaça a equação que encontramos acima. Podemos fazer n = 0 e n = - 1 na equação acima e ficaremos com:

t = 1 2 π       e       t = - 1 2 π

Esses são os pontos críticos da nossa função!

Passo 5

Agora vamos calcular o valor de f ( t ) nos pontos que achamos:

f 1 2 π = 2 sin ⁡ 1 2 π = 2

E

f - 1 2 π = 2 sin ⁡ - 1 2 π = - 2

Que já era de se esperar, porque temos uma função seno de amplitude 2 .

Passo 6

Como diz o 3º passo do nosso passo a passo, o menor dos dois valores será o mínimo absoluto e maior valor sera o máximo absoluto do intervalo, daí temos:

Mín. absoluto: f - 1 2 π = - 2

Máx. absoluto: f 1 2 π = 2

Passo 7

O gráfico dessa função no intervalo é um seno de amplitude 2 e fase 0 . Sem stress!

Use os valores de máximo e mínimo que encontramos para facilitar a vida quando for esboçar o gráfico ;)

Resposta

Mín. absoluto: f - 1 2 π = - 2

Máx. absoluto: f 1 2 π = 2

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números crít
Encontre os números críticos da função h p = p - 1 p 2 + 4