Enunciado

Demonstrar que a função y = a x 2 + b x + c ,   x ∈ I R , tem máximo se, e somente se, a < 0 ; e mínimo se, e somente se, a > 0 .

Passo 1

Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função, seus extremos relativos, de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Assim, derivando y , temos que:

y ' = 2 a x + b

Passo 2

Igualando o resultado de y ' a zero e simplificando, temos:

2 a x + b = 0 ⇒ 2 a x = - b ⇒ x = - b 2 a

Logo x = - b 2 a é um ponto crítico.

Passo 3

O teste da segunda derivada diz que:

  1. Se f ' ' k < 0 , f tem um valor máximo relativo em k .
  2. Se f ' ' k > 0 , f tem um valor mínimo relativo em   k .

y ' ' = 2 a

Para x = - b 2 a   e     a > 0 , temos:

⇒ y ' ' = 2 a > 0 ⇒ - b 2 a   é   p o n t o   d e   m í n i m o   ( i t e m   i i )

Para x = - b 2 a     e     a < 0 , temos:

⇒ y ' ' = 2 a < 0 ⇒ - b 2 a   é   p o n t o   d e   m á x i m o   ( i t e m   i )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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