Enunciado

Determinar os coeficientes a e b de forma que a função f x = x 3 + a x 2 + b tenha um extremo relativo no ponto ( - 2,1 ) .

Passo 1

Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função, seus extremos relativos, de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Assim, derivando f ( x ) , temos que:

f ' x = 3 x 2 + 2 a x

Passo 2

Igualando o resultado de f ' ( x ) a zero e simplificando, temos:

3 x 2 + 2 a x = 0 ⇒ x 3 x + 2 a = 0

x 1 = 0       e       3 x + 2 a = 0 ⇒ 3 x = - 2 a ⇒ x 2 = - 2 a 3

Para quaisquer valores de a e b x = 0 é um ponto crítico.

E x = - 2 a 3 é ponto crítico.

Passo 3

O teste da segunda derivada diz que:

  1. Se f ' ' c < 0 , f tem um valor máximo relativo em c .
  2. Se f ' ' c > 0 , f tem um valor mínimo relativo em   c .

f ' ' x = 6 x + 2 a ⇒ 6 x + 2 a = 0 ⇒ 6 x = - 2 a ⇒ x = - 2 a 6 = - a 3

Aplicando o ponto crítico   x = - 2 a 3 :

f ' ' - 2 a 3 = 6 - 2 a 3 + 2 a =   - 2 a ≠ 0   p a r a   a ≠ 0

Passo 4

Como o extremo deve estar no ponto ( - 2,1 ) , segue que - 2 a 3 = - 2 ⇒ a = 3 .

E 1 = f - 2 = - 2 3 + 3 - 2 2 + b ⇒ b =   1 + 8 - 12 ⇒ b = - 3 .

Resposta

a = 3       e       b = - 3

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