Responde Aí

Enunciado

36. Numa determinada cidade com população A, 20% dos habitantes ouviram pelo rádio a notícia de um escândalo político local. A taxa de disseminação da informação é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que a ouviram e ao número de pessoas que não a ouviram. Se após 1h 50% da população já sabe do escândalo, quanto tempo levará para que 80% da população tome conhecimento do fato?

Passo 1

A questão é bem parecida com a feita anteriormente, sendo assim pode ser seguida a mesma linha de pensamento utilizada na resolução da questão anterior.

Como trata-se de um enunciado bem grande, para resolver este tipo de problema devemos tirar todas as informações do enunciado e aplicar os conceitos de cálculo desenvolvidos até aqui para dar sequência na resolução da questão.

Passo 2

Como foi dito no enunciado da questão, a taxa com que se espalhou a informação é proporcional, sendo assim ela pode ser escrita como:

d y d t = k y ( A - y )

Passando tudo que depende de y para um lado e tudo que depende de t para o outro ficamos com:

k . d t = d y y A - y

Integrando ambos os lados da equação vem:

∫ k . d t = ∫ d y y A - y = 1 A ∫ 1 y + 1 A - y d y

k t = 1 A ln ⁡ C y A - y

Passo 3

Agora precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no enunciado para descobrimos os valores das constantes C e k , deixando a expressão somente em função do tempo:

Q u a n d o   t = 0 ,   y = 0,2 A   e   a s s i m   t e m o s   0 = 1 A ln ⁡ C . 0,2 A A - 0,2 A ; C = 4

Logo a nossa expressão fica igual a :

A k t = ln ⁡ 4 y A - y

Do enunciado também, temos que:

Q u a n d o   t = 1 h ,   y = 0,5 A   e   a s s i m   t e m o s   ( A k ) 1 h = ln ⁡ 4 . 0,5 A A - 0,5 A ; A k = l n ⁡ 4

Logo a nossa expressão fica igual a :

l n ⁡ 4 t = ln ⁡ 4 y A - y

Passo 4

Q u a n t o   t   s e   y = 0,8 A

l n ⁡ ( 4 ) t = ln ⁡ 4 0,8 A A - 0,8 A

4 t = 4 . 0,8 A 0,2 A

t = 4 h

Então, em 4h, 80% da população terá conhecimento do fato.

Resposta

t = 4 h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calc
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calc
Calcule. ∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x
48. Faça uma substituição para expressar o integrando como u
Calcule a integral ∫ 1 x - 2 x 2 + 4 d x