Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = x x + 2 ; - 1 ,   2

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

  1. Determinar a derivada da função.
  2. Fazer f ' x = 0 e depois encontrar os valores de x para os quais f ' x   não existe.
  3. Achar os valores de x que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
  4. Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
  5. Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

Temos uma função racional e os polinômios do numerador e do denominador são lineares. Vamos verificar as assíntotas dessa função fazendo os limites:

lim x → - 2 ⁡ f ( x )

Já que a função não está definida para x = - 2 . E o limite:

lim x → ∞ ⁡ f ( x )

Do primeiro limite:

lim x → - 2 ⁡ f x = l i m x → - 2   x x + 2 = l i m x → - 2   x x 1 + 2 x = l i m x → - 2   1 1 + 2 x = ± ∞

Disso já sabemos que a nossa função explode para o - ∞ e para o + ∞ também no ponto x = - 2 . E para x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ x x + 2 = lim x → ∞ ⁡ x x 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + 2 x = 1

Daí teremos uma função que vem de - ∞ no ponto x = - 2 e se aproxima de 1 a medida que x cresce. O gráfico da função fica então:

Mas estamos apenas interessados nos valores no intervalo [ - 1 ,   2 ] , vamos ficar com o gráfico:

Passo 3

E desse gráfico da pra ver que o ponto de mínimo e o de máximo estão cada um em um extremo do intervalo. Portanto vamos fazer f ( - 1 ) e f 2 :

f - 1 = - 1 - 1 + 2 = - 1

E

f 2 = 2 2 + 2 = 1 2

Esses serão os nossos valores de mínimo e máximo absoluto, respectivamente.

Resposta

Mín. absoluto:   f - 1 = - 1

Máx. absoluto: f 2 = 1 2

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1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .b) f é côncava para cima no intervalo I e não tem extremos relativos.
3. a) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que f x = 3 x 2 - 6 x + 1 tem um mínimo relativo em x = 1 .
6. a) Mostre que f x = 1 - x 5 e g x = 3 x 4 - 8 x 3 têm pontos estacionários em x = 0 .b) O que o teste da derivada segunda diz sobre a natureza desses pontos estacionários?c) O que o teste da deriva
2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .b) f tem exatamente dois extremos relativos em I e f x → 0 quando x → + ∞ e x → - ∞ .
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.8. f x = 3 x 4 + 12 x